Поиск

ТЕОРЕМА О БАБОЧКЕ

Наталья Сорочинская
18 апр. 2017 г.
1 мин. чтения

Теорема о бабочке является классической теоремой планиметрии. Её авторство приписывают английскому математику Уильяму Джорджу Горнеру. (именно в честь него названа схема Горнера деления многочленов). Первый раз теорема увидела свет в английском ежегодном журнале "Gentleman's Diary" («Записки джентльмена») 1815 года. Журнал представлял собой сборник математических задач.

Теорема, которой даётся название и которая не теряется в куче подобных ей - или крайне полезная, или очень красивая. Теорема о бабочке, на мой взгляд, относится ко второму типу, хотя она несомненно может быть применена в подходящем случае.

Сформулировать её можно следующим образом:

Пусть P - середина хорды EF. Через точку P проведены две произвольные хорды AC и BD . Отрезки AB и CD пересекают хорду EF в точках X и Y соответственно. Тогда P - середина отрезка XY.

Изложу доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на мой взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B.

Доказательство.